Определение профиля вертикального распределения проницаемости с учетом данных эксплуатации скважин

М.М. Хасанов, К.В. Торопов, А.А. Лубнин (ОАО «НК «Роснефть»)

Введение
Наибольшие трудности при создании гидродинамических моделей пластов связаны с определением профиля вертикального распределения проницаемости в скважинах. Известные методы макромасштабного (поинтервального) определения проницаемости – опробование пласта испытателем на кабеле, оценка по данным геофизических исследований скважин (ГИС), детальная расходометрия – дают скорее относительную, чем абсолютную информацию [1]. Эти методы позволяют определить, какой интервал имеет большую проницаемость, а какой – меньшую. Однако количественные оценки, получаемые с их помощью, являются весьма приближенными и, что самое главное, плохо согласуются с мегамасштабными, т.е. средними по разрезу пласта оценками проницаемости, получаемыми с помощью гидродинамических исследований скважин (ГДИС) или по данным ее нормальной эксплуатации. Причины этих проблем подробно обсуждаются в работе [1]. В случае наиболее распространенного источника информации – геофизических исследований скважин – они связаны с тем, что методы ГИС по своей физической сущности дают возможность определить объемные параметры (пористость, насыщенность), но не динамические (проницаемость). Эмпирические зависимости типа пористость – проницаемость или более сложные алгоритмы (множественные регрессии, нейронные сети), связывающие проницаемость с измеряемыми по результатам ГИС объемными характеристиками, дают количественные оценки с большой погрешностью.

Несмотря на указанные проблемы, существующие методы поинтервальной оценки проницаемости (в частности, методы, основанные на данных ГИС) весьма полезны, поскольку они выполняют очень важную функцию компаратора, т.е. инструмента для сравнения и ранжирования различных интервалов по проницаемости.

Для построения количественно адекватного профиля вертикального распределения проницаемости необходимо решить задачу интегрирования в единую модель разнородных данных, полученных от различных источников информации (анализ керна, испытание пластов, расходометрия, ГИС) при измерениях на различных (макро- и мега-) масштабах [1]. При этом следует учитывать следующие факторы.

Различие условий измерений. Анализ керна выполняется в лабораторных условиях после специальной обработки образцов, что приводит к существенному отклонению измеренных в лаборатории значений проницаемости от проницаемости пласта в естественных условиях. Кроме того, по керну определяется абсолютная проницаемость, в то время как опробование пласта или интерпретация данных ГДИС дает значения эффективной проницаемости, соответствующей некоторой реальной насыщенности пласта.

Необходимость калибровки оценок проницаемости, полученных по данным ГИС. При комплексировании макромасштабных (по ГИС) и мегамасштабных (по ГДИС) оценок проницаемости в рамках единой модели необходимо добиться того, чтобы для каждой скважины средняя по толщине пласта проницаемость, определенная по данным ГИС, была равна средней по толщине пласта проницаемости, определенной по результатам ГДИС или по данным нормальной эксплуатации скважин. Обычно выполнение этого условия обеспечивается умножением значений проницаемости, полученных по данным ГИС, на некоторый поправочный коэффициент, единый для всех интервалов пласта в скважине и для всех скважин, находящихся в сходных геологических условиях [1]. Таким образом, значения средней проницаемости, определенные по данным ГДИС или нормальной эксплуатации, признаются эталоном, с помощью которого калибруются данные ГИС.

Корректировка значений проницаемости путем умножения на поправочный коэффициент позволяет добиться хорошего соответствия расчетной производительности скважины реальной. Однако одновременно решить таким же способом и задачу адекватного описания характеристик вытеснения нефти из пласта (например, корректного расчета динамики обводнения продукции скважины) невозможно. Причину этого можно понять, если рассмотреть проницаемость интервалов пласта как случайную величину, функция распределения которой (обычно принимаемая логнормальной) зависит от двух параметров – среднего значения (математического ожидания) и «размаха» отклонений от среднего значения (дисперсии). Дисперсия определяет степень вертикальной неоднородности пласта и, в частности, вид характеристики вытеснения нефти водой (например, в соответствии с моделью Дайкстры – Парсонса [2-6]). Умножение значений проницаемости на поправочный коэффициент эквивалентно сдвигу функции распределения по оси «логарифм проницаемости». Этот сдвиг позволяет добиться желаемого значения средней проницаемости, однако «размах» кривой распределения проницаемости при этом остается неконтролируемым, в связи с чем желаемых показателей неоднородности добиться не удается. В данной работе предложен метод корректировки значений проницаемости, позволяющий достичь желаемого вида функции распределения (например, логнормального) с заданными характеристиками – математическим ожиданием и дисперсией. Этот метод основан на результатах теории порядковых статистик [7, 8] и возможности восстановления проницаемости в ранжированной выборке при наличии априорной информации о виде функции распределения. Предполагается, что ранжирование интервалов пласта по проницаемости проводится с помощью ГИС. Математическое ожидание предложено определять по данным ГДИС или нормальной эксплуатации скважин, а дисперсию – из анализа выборок керна или по динамике обводнения продукции.

Одним из основных преимуществ предлагаемого подхода является существенное ускорение процесса адаптации 3D гидродинамических моделей к истории разработки (history matching) и повышение устойчивости результатов history matching за счет того, что уже первое приближение к оценке поля проницаемости (на этапе инициализации модели) оказывается максимально приближенным к истинному распределению фильтрационных свойств пласта. Это обеспечивается использованием при инициализации модели сразу всей имеющейся лабораторной и промысловой информации, включая исторические данные о динамике добычи нефти и других флюидов.

Практическое применение предложенного метода рассмотрено на примере одного из месторождений ОАО «НК «Роснефть».

Постановка задачи
Пусть некоторая скважина разрабатывает пласт эффективной толщиной H, состоящий из n интервалов (прослоев, слоев); hi, ki – соответственно толщина и абсолютная проницаемость i-го интервала; kgi – абсолютная проницаемость i-го интервала, полученная по данным ГИС (i=1, 2, …, n).

Как уже отмечалось, значения kgi могут значительно отличаться от истинных значений ki, поэтому прямое использование kgi может привести к большим погрешностям при расчете двух важнейших показателей: продуктивности скважины и вертикальной неоднородности пласта по проницаемости, во многом определяющей эффективность вытеснения нефти водой или газом.

Эти два показателя связаны с параметрами функции распределения проницаемости математическим ожиданием

(1)

и дисперсией

(2)

где символ E[•] обозначает операцию нахождения математического ожидания; σ – среднеквадратичное (стандартное) отклонение проницаемости. Продуктивность скважины пропорциональна величине произведения KH (K – средняя по толщине пласта проницаемость, определяемая по притоку пластовой жидкости к скважине). Значение K может быть получено путем обработки результатов ГДИС. Если активные эксперименты (ГДИС) отсутствуют, то для оценки K рекомендуется использовать данные нормальной эксплуатации (пассивного эксперимента). Под данными нормальной эксплуатации мы понимаем временные ряды замеров дебитов скважины и забойного давления, осуществляемых при эксплуатации скважины в квазистационарном режиме (при относительно небольших изменениях забойного давления, вызванных естественными причинами) или же при выводе на стационарный режим вновь пробуренных скважин.

Значение K определяется путем анализа притока жидкости к скважине в естественных пластовых условиях, поэтому K имеет смысл эффективной проницаемости. С учетом указанного мы можем записать

(3)

где Kr – относительная проницаемость при средней по толщине пласта насыщенности флюидами. Если при исследовании реализуется приток безводной нефти (как чаще всего и бывает), то Kr представляет собой относительную проницаемость для нефти при наличии в пласте связанной воды.

Распределение вероятностей проницаемости по разрезу принято описывать логнормальной функцией. При этом функция распределения вероятностей ϕ(x) величины x = ln k определяется соотношениями

(4)

где µ, σIn – соответственно математическое ожидание и стандартное отклонение логарифма проницаемости.

Функцию распределения вероятностей проницаемости F(x) для логнормального закона легко получить из соотношений (4):

(5)

где f (k) – плотность распределения вероятностей проницаемости, определяемая равенством

(6)

Математическое ожидание k и среднеквадратичное отклонение σ проницаемости связаны с параметрами µ и σIn соотношениями [3, 4]

(7)

(8)

Обозначим через kp проницаемость, определяемую равенством

(9)

Как следует из математического смысла функции распределения F(k), величина p определяет долю (в процентах), которую в эффективной толщине пласта занимают прослои проницаемостью k < kp. Например, k50 – медианное значение: прослои проницаемостью, меньшей k50, и прослои проницаемостью, большей k50, занимают по 50 % эффективной толщины. Медианное значение проницаемости принято обозначать символом km, т.е. k50 = km. Так как функция ϕ(x) в выражении (4) симметрична относительно оси x = µ, получаем µ = ln k50 = ln km.

В результате формулу (7) можно представить в следующем виде:

(10)

Как известно, отклонения аргумента при нормальном распределении влево и вправо от медианного значения на величину среднеквадратичного отклонения приводят к значениям функции распределения, равным приблизительно 0,16 (16 %) и 0,84 (84 %). Поэтому (рис. 1)

(11)

Таким образом, степень неоднородности пласта можно было бы охарактеризовать величиной

(12)

Однако в практике современного нефтяного инжиниринга для этой цели принято использовать коэффициент Дайкстры — Парсонса [2-6]

(13)

Как следует из (11) и (13), коэффициент VDP для логнормального распределения связан с параметром σIn соотношением

(14)

Подставив выражение (14) в формулу (8), получим

(15)

откуда

(16)

где

(17)

Продуктивные пласты чаще всего характеризуются значениями VDP, лежащими в интервале от 0,7 до 0,8. Следовательно, наиболее распространенные значения коэффициента A(VDP) для неоднородных пластов находятся в диапазоне от 2 до 3,5, т.е. среднее значение проницаемости в 2 – 3,5 раза превышает медианное значение.

Альтернативная характеристика степени неоднородности – коэффициент вариации V=σ / k. Для логнормального распределения из выражений (7), (8) имеем

(18)

Значения VDP можно получить из прямого анализа выборок керна или же путем обработки промысловых данных по динамике обводнения добывающих скважин. В последнем случае адекватное значение VDP определяется с помощью «подгонки» характеристик вытеснения, полученных в рамках слоистой модели пласта [2, 5, 6], к реально наблюдаемым характеристикам.

Соотношения (14) и (16) связывают параметры µ и σIn логнормальной функции распределения проницаемости с практически измеряемыми характеристиками скважины – средневзвешенной по толщине пласта проницаемостью k и коэффициентом VDP.

В общем случае функция распределения проницаемости может отличаться от логнормальной. Однако, зная ее вид, всегда можно выразить значения параметров распределения через величины k и VDP (мы ограничиваемся рассмотрением двухпараметрических функций распределения).

Из представленного выше обзора ясно, что в математическом смысле задача определения профиля вертикального распределения проницаемости в скважине заключается в нахождении функциональной связи между значениями проницаемости по данным ГИС и истинными ее значениями

(19)

Эта функциональная связь обеспечивает выполнение следующих условий:
» функция λ(k) монотонна;
» функция распределения проницаемости по разрезу ƒ(k), рассчитанная с помощью функции (19), имеет априорно заданный вид;
» параметры функции ƒ(k) таковы, что расчетные значения k и VDP совпадают с оценками, полученными по экспериментальным и промысловым данным.

Далее для простоты будем считать функцию ƒ(k) логнормальной, хотя предлагаемые в данной работе методы применимы для любого распределения. Часто применяемый на практике способ корректировки значений kg путем умножения их на некоторый поправочный коэффициент с целью достижения желаемого среднего значения проницаемости означает, что функция λ(k) принимается линейной:

(20)

где множитель C определяется из условия

(21)

следующего из уравнения (3).

Логарифмируя выражение (20), получаем

(22)

Таким образом, этот способ корректировки эквивалентен сдвигу функции распределения проницаемости на отрезок lnC по оси lnk (рис. 2).

Из рис. 2 можно видеть, что преобразование (22) не позволяет получить желаемую функцию распределения (кривую 3), поскольку оно не меняет ни форму кривой 1, ни ее «размах».

Метод безэталонных измерений
Предположим, что имеется куча случайно набранных камней. Можно ли определить вес каждого камня, имея рычажные весы, но не имея гирек к ним? В более общем виде эта задача, называемая задачей безэталонного измерения [7], может быть поставлена следующим образом.

Пусть (x1, x2, … xn) – выборка, составленная из n реализаций случайной величины X; xi – i-я реализация случайной величины (i = 1, 2, … n). Можно ли определить значения xi, имея только компаратор, который позволяет сравнивать значения xi друг с другом, но не имея эталонов, которые позволили бы измерять значения xi напрямую? (В нашем примере с камнями компаратором являются весы, а отсутствующими эталонами – гирьки).

В работе [7] показано, что решить эту задачу можно с помощью теории порядковых статистик при условии, что функция распределения случайной величины X известна. Легко видеть, что рассматриваемая нами проблема определения истинной проницаемости интервалов пласта ki по данным ГИС также является задачей безэталонного измерения и, следовательно, может быть решена методами теории порядковых статистик.

Переходя к вероятностному описанию, рассмотрим случайное множество выборок (x1, x2, … xn). Во многих практических приложениях полезно [4, 7-9] использовать упорядоченные (ранжированные) выборки (x(1), x(2), … x(n)), полученные из исходных выборок (x1, x2, … xn) путем перестановки величин xi в порядке их возрастания (x(i) < x(i+1)).

Про величину, стоящую на i-м месте в ранжированной выборке, говорят, что она имеет ранг i. Разумеется, величины, имеющие один и тот же ранг i, в разных выборках будут, в силу случайности, разными. Таким образом, величины x(i) являются реализациями некоторой случайной величины, которую мы обозначим x(i). Следовательно, случайная ранжированная выборка может быть представлена в виде набора случайных величин (x(1), x(2), … x(n)). Элемент x(i) этой выборки называется i-й порядковой статистикой, а раздел математической статистики, изучающий свойства упорядоченных выборок, называется теорией порядковых статистик [7, 9].

Если ƒ(x), F(x) – соответственно плотность вероятности и функция распределения исходной совокупности, то плотность распределения i-й порядковой статистики Ψi(x) при объеме выборки n определяется уравнением [7]

(23)

Среднее Ei порядковых статистик

(24)

дисперсия порядковых статистик

(25)

В качестве примера на рис. 3 приведены графики плотности распределения исходной случайной величины, имеющей нормальное распределение ƒ(x), и распределения порядковых статистик Ψi(x) при i = 6 и i = 20 (n = 30). Из рис. 3 видно, что плотность вероятности порядковой статистики представляет собой достаточно «узкую» функцию, поэтому для оценки неизвестной величины x(i) при больших n можно использовать математическое ожидание
Ei: x(i) ≈ Ei.

Идея такой замены лежит в основе метода безэталонных измерений [7]. Ошибка x(i)  – Ei, допускаемая при применении этого метода, уменьшается с ростом объема выборки n.

Расчет значений Ei проводится с использованием формул (23), (24) путем численного вычисления интеграла (24).

Применение метода безэталонных измерений для определения профиля распределения проницаемости в скважине
Вначале будем считать, что значения проницаемости по данным ГИС kgi получены через равные интервалы пласта: h1 = h2 = …= hn. Это имеет место, например, при представлении каротажных кривых и результатов их интерпретации в LAS-формате, когда параметры пласта определяются равномерно через каждые 0,1 или 0,2 м. Принятое ограничение позволяет напрямую использовать идею метода безэталонных измерений, изложенную выше.

Пусть известно, что распределение проницаемости логнормальное. В качестве исходной информации даны:
» значения проницаемости интервалов пласта kgi, полученные по данным ГИС (i=1, 2, …, n);
» средняя по толщине пласта проницаемость K;
» коэффициент неоднородности Дайкстры – Парсонса VDP.

Требуется определить истинную проницаемость интервалов ki (i=1, 2, …, n).
Задача решается в следующей последовательности.

1. Определяется параметр σln распределения (4) по формуле (14).
2. Определяется математическое ожидание проницаемости по формуле (3).
3. Определяется параметр μ распределения (4) по формуле (16).
4. Интервалы пласта ранжируются в порядке возрастания проницаемости путем сравнения значений kgi, соответствующих различным интервалам. При этом исходная выборка (kg1, kg2, …, kgn) преобразуется в ранжированную выборку (kg(1), kg(2), …, kg(n)).
5. Численным интегрированием по формулам (23) и (24) определяются математические ожидания порядковых статистик Ei, что позволяет получить ранжированную выборку истинных проницаемостей (k(1), k(2), …, k(n)) с помощью приближенной замены k(i) ≈ Ei.
6. Путем сопоставления ранжированных выборок (kg(1), kg(2), …, kg(n)) и (k(1), k(2), …, k(n)) определяется функциональная связь между истинной проницаемостью и проницаемостью по данным ГИС: k = λ (kg).

Описанная последовательность расчетов применяется для всех скважин, по которым имеется требуемая исходная информация. При этом необходимо проводить тщательный сравнительный анализ всех исследованных интервалов и соотношений, полученных для всех скважин, для того, чтобы выявить некоторые общие закономерности, которые можно будет без риска применить уже и для скважин аналогов, по которым часть исходной информации отсутствует (например, есть данные ГИС, но нет сведений о параметрах функции распределения истиной проницаемости – K и VDP).

Пример: Пусть средняя эффективная проницаемость пласта, вскрытого данной скважиной, K=7,2 мД, коэффициент VDP=0,8, относительная проницаемость Kr=0,8. Значения проницаемости по данным ГИС kgi, образующие выборку объемом n=29 и характеризующие интервалы пласта толщиной 0,4 м, приведены в табл. 1 в порядке возрастания глубины расположения интервалов.

1. Определим стандартное отклонение по формуле (14)

2. Определим среднюю проницаемость по формуле (3)

3. Определим параметр логнормального распределения (4) по формуле (16)

4. Отранжируем значения kgi из табл. 1 и расположим их в табл. 2 в порядке возрастания.

5. Рассчитаем значения математических ожиданий Ei по формулам (23) и (24) и расположим их в табл. 2.

6. Восстановим проницаемости по вертикали путем обратной перестановки интервалов в порядке роста глубины их расположения (см. табл. 1). Значения k(i) из табл. 2 в табл. 1 переносятся так, чтобы значения kg, стоящие в одной строке с k(i) в табл. 1 и табл. 2, совпадали.

На рис. 4 представлена зависимость k = λ(kg), отражающая функциональную связь между столбцами 2 и 3 табл. 1. Как видно, эта зависимость существенно нелинейная, в отличие от зависимости (20).

Отметим, что среднее значение

и коэффициент неоднородности

совпадают с первоначально заданными величинами.

Практическое применение методики
Предлагаемая методика определения поля проницаемости была опробована при создании секторной гидродинамической модели одного из месторождений ОАО «НК «Роснефть». Первоначально для определения проницаемости на этом месторождении использовалась зависимость пористость – проницаемость вида

(26)

или

(27)

где m — пористость, %, определенная по данным ГИС.

В результате расчетов по методу безэталонных измерений были получены скорректированные значения проницаемости, поинтервальное сопоставление которых со значениями пористости с последующим обобщением на все скважины показало, что связь пористость – истинная проницаемость описывается функцией

(28)

Сравнение исходной (26) и скорректированной (28) петрофизических зависимостей приведены на рис. 5. На рис. 6 представлены результаты расчетов, полученные с использованием исходной гидродинамической модели и модели, в которой проницаемость была определена по методу безэталонных измерений. Как видно, предложенный нами метод позволяет сразу (без процедуры history matching) добиться очень хорошего совпадения результатов расчетов с промысловыми данными.

Детали расчетов с обобщением на случай неравномерного распределения значений kgi по глубине пласта (разные hi) будут рассмотрены в следующей публикации на эту тему.

Заключение
Предложенный алгоритм определения профиля вертикального распределения проницаемости может быть использован для переинтерпретации результатов ГИС с учетом данных эксплуатации скважин. Этот метод корректировки значений проницаемости позволяет добиться соответствия между расчетной и реальной производительностью скважины, а также решить задачу адекватного описания характеристики вытеснения нефти из пласта (корректного расчета динамики обводнения продукции скважины).

На примере реального месторождения показано, что применение предложенного алгоритма при создании 3D гидродинамических моделей дает возможность получить хорошее начальное приближение к истории разработки без процедуры history matching. При выводе ключевых соотношений, лежащих в основе алгоритма, было сделано допущение о том, что толщины интервалов одинаковы. Это предположение соответствует представлению геофизической информации в формате LAS-файлов. Однако такие файлы не всегда доступны, в связи с чем предложенный метод требует обобщения на случай разной толщины прослоев.

Список литературы
1. Косентино Л. Системные подходы к изучению пластов. – М. – Ижевск: ИКИ, 2008. – 400 с.

2. Дейк Л.П. Практический инжиниринг резервуаров. – М. – Ижевск: ИКИ, 2008. – 668 с.

3. Уолш М., Лейк Л. Первичные методы разработки месторождений углеводородов. – М. – Ижевск: ИКИ, 2008. – 652 с.

4. Statistics for Petroleum Engineers and Geoscientists// J.L. Jensen, P.W.M. Corbett, L.W. Lake, D.J. Gaggin /Elsevier, 2000. – 362 p.

5. Willhite G.P. Waterflooding// SPE Textbook Series, 1986. – 365p.

6. Dykstra H., Parsons R.L. The Prediction of Oil Recovery by Waterflooding // Secondary Recovery of Oil in the United States, 1948 API Spring Meeting, Los Angeles, May.

7. Ефимов А.Н. Порядковые статистики – их свойства и приложения. – М.: Знание, 1980. – 64 с.

8. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Моделирование процессов нефтегазодобычи. – М. – Ижевск: ИКИ, 2008. – 368 с.

9. Сархан А.Е., Гринберг Б.Г. Введение в теорию порядковых статистик.– М.: Статистика, 1970. – 414 с.
Эта статья была опубликована в Научно-техническом вестнике ОАО «НК Роснефть», №4, 2009 г., с.14 – 21; ISSN 2074-2339, и заняла второе место в конкурсе на лучшую публикацию в вестнике в 2009 г. Напечатано с разрешения редакционной коллегии.