Вероятностные аспекты оценки ледовых нагрузок и воздействий на объекты обустройства морских месторождений на примере айсберговой угрозы: Часть 2

Д.А. Онищенко  (ООО «Газпром ВНИИГАЗ»)

4 Модель перемещения айсбергов

Часть 1 

Важным аспектом при моделировании движения айсбергов является выделение двух масштабов: глобального и локального. Выделим с центром в точке расположения платформы некоторую “локальную” область, площадь которой обозначим A_reg (рис. 1). На уровне глобального масштаба оценивается вероятность (частота) прихода айсбергов в эту область, а на уровне локального масштаба рассчитывается условная вероятность столкновения данного айсберга с платформой (при условии, что он вошел в пределы области). Размеры области должны быть такими, чтобы архивные данные достоверно свидетельствовали о фактах наблюдения айсбергов в пределах выделенной области. Обычно такие области имеют границами меридианы и параллели. Архивные данные по айсбергам в Баренцевом море представлены для областей, занимающих  2 град. по широте и 5 град. по долготе (рис. 2, [16]). Обозначим через λ интенсивность потока айсбергов, приходящих в выделенный район. Отметим, что указанный параметр может оцениваться по архивным данным, но в принципе может и рассчитываться с помощью моделирования полной “судьбы” айсберга методом Монте-Карло от момента его образования у одного из выводных ледников, прослеживания траектории его дрейфа под действием полей течений и ветра в рамках общих региональных моделей типа “атмосфера-лед-океан”. Расчет по второму варианту требует, конечно, колоссальных затрат компьютерного времени и достоверной информации о полях течений и ветров.

Введем следующие обозначения: D – размер пришедшего в район A_reg айсберга (например, характерный или максимальный размер в плане на уровне воды); v  – средняя скорость движения айсберга внутри области; t_res – время пребывания айсберга  в пределах области; ℓ – общая длина пути айсберга внутри области. В общем случае все четыре перечисленных параметра являются случайными. Часто предполагается, что величины D и v независимы в вероятностном смысле (это, конечно, требует обоснования в конкретных условиях ) и описываются соответствующими функциями плотности w_D(x) и  w_v(x). В то же время величины v, t_res и ℓ заведомо зависимы, поскольку связаны очевидным соотношением

ℓ = v.t_res.

Дальнейшее построение модели зависит от гипотез относительно вероятностных распределений данных величин, в том числе, от того, какие из них принять за основные. Например, в модели “дождя” [13], когда имеются основания предполагать, что все айсберги в исследуемом районе совершают преимущественно прямолинейное движение вдоль выделенного направления (рис. 3), за основную переменную рационально принять скорость v. При этом  ℓ ≡ L₂ = const. Если же движение айсбергов непрямолинейно (рис. 1), или достаточно хаотично, то типичный подход к моделированию в этом случае заключается в предположении, что время t_res распределено по показательному
F_t (x)=1-e^-μx, где

μ=1⁄t __res

– обратная величина среднего значения времени пребывания айсберга в пределах области.  Обычно поток приходящих айсбергов считается пуассоновским, и тогда можно показать, что среднее (в статистическом смысле) значение n ̅ числа айсбергов в области A_reg в произвольный момент времени вычисляется по формуле

n ̅=λ/μ .(10)

Для качественного сопоставления различных регионов по уровню айсберговой опасности вводится понятие пространственной плотности айсбергов  (среднее число айсбергов в пределах данной области в конкретный момент времени, отнесенное к  площади):

ρ=n ̅/A_reg .(11)

Переходим к расчету вероятности столкновения айсберга с платформой. За время пребывания айсберга в районе он проходит путь  ℓ = v t_res  и “заметает” площадь A_sw = ℓ D (рис. 1).

Столкновение происходит тогда и только тогда, когда расстояние между “центрами” платформы и айсберга оказывается меньше (W +D)/2, где W –  характерный размер платформы на уровне ватерлинии. Если интерпретировать это как попадание центра платформы (точка С на рис. 1)
в полосу шириной W +D и длиной  ℓ, которая некоторым случайным образом расположена внутри области, то условная вероятность p_imp (D,v) столкновения  пришедшего в район айсберга с платформой (при условии, что его диаметр равен, а скорость v) может быть оценена с помощью выражения

p_imp (D,v)=(D+W)/L₁ =(D+W)L₂/L₁ L₂ =A_sw/A_reg.    (12)

Для модели “дождя”, согласно вышесказанному,
ℓ = L₂, а для модели хаотического движения ℓ = v/μ.

Теперь можно определить условную вероятность P_Imp  столкновения платформы с айсбергом, имеющим произвольные (неизвестные) размер и скорость, при условии, что он появился в рассматриваемом районе:

P_Imp=∫₀^Dmax∫₀^vmax p_mp (x₁,x₂ ) w_D (x₁) w_v (x₂)dx₁ dx₂  ,   (13)

где D_max характеризует максимальный айсберг, который может достичь границ  рассматриваемого района (с учетом географических и климатических особенностей региона), а v_max – максимально возможная по физическим ограничениям скорость дрейфа айсберга. Заметим, что применяемый подход позволяет достаточно просто учесть снижение вероятности столкновения за счет применения системы мониторинга и активного воздействия на айсберги с целью их отвода. Если предположить, что эффективность такой системы применительно к айсбергу размера D и со скоростью v характеризуется вероятностью неудачи γ(D,v)), то формула для условной вероятности возможного столкновения принимает вид

P_Imp=∫₀^Dmax∫₀^vmax p_imp (x₁,x₂ )γ(x₁,x₂ )w_D (x₁)w_v (x₂)dx₁ dx₂ .

Если имеющихся статистических данных недостаточно для определения зависимости скорости айсберга от его размера и если в целях упрощения принять, что успешность операций по воздействию на айсберг не зависит от его размеров и скорости и равна γ =const, то можно получить следующее выражение для оценки условной вероятности столкновения пришедшего айсберга с платформой:

P_Imp=γ(D  ̅  +W)v   ̅ t ̅_res/A_reg ,(14)

где черта сверху обозначает среднее значение соответствующей случайной величины.

Как уже отмечалось, одной вероятности столкновения недостаточно для задания расчетной нагрузки. Для проектирования необходимо рассчитывать вероятность более сложных случайных событий, характеризующих не только сам факт столкновения, но и параметры столкнувшегося айсберга. Приведем несколько характерных примеров.

В рамках описываемого подхода можно, например, рассчитать условную вероятность P_Imp* (D) столкновения платформы с айсбергом, размер которого не меньше заданного значения D, при условии, что в районе появился айсберг с неизвестными параметрами (при отсутствии системы активного воздействия на айсберги):

P_Imp* (D)=(1/A_reg)  v ̅  t ̅ _res ∫_D^Dmax(x₁+W)w_D (x₁)dx₁ (15)

Эта величина монотонно убывает от P_Imp до 0 при возрастании D от 0 до D_max.

Чтобы найти безусловную вероятность столкновения платформы с айсбергом, необходимо учесть частоту прихода айсбергов в исследуемый район. Если использовать модель пуассоновского потока с интенсивностью λ, то, как известно, вероятности появления ровно k айсбергов (k = 0, 1, 2, …) в течение интервала времени T вычисляются по формуле

P_arr (k,T)=(λT)^k e^-λT /k!

Теперь можно показать, что безусловная вероятность столкновения платформы в течение периода времени T с айсбергом, размер которого не меньше заданного значения D, определяется соотношением

P(D,T)=1-exp[-λTP_Imp* (D)](16)

(приD=0 получаем безусловную вероятность столкновения платформы в течение периода времени T с произвольным айсбергом).

В действительности, найденное соотношение (16) справедливо как для редких событий, так и для частых (см. [17]), конечно, в рамках сделанных предположений. Однако для редких событий, к которым относится столкновение с айсбергом, величина P_Imp* (D) весьма мала, что позволяет записать следующую приближенную формулу:

P(D,T)≈λTP_Imp* (D),

точность которой не хуже  (λTP_Imp*)².

Отметим, что в рамках описанного подхода можно рассчитать различные другие показатели айсберговой опасности, например, вероятностную функцию распределения кинетической энергии айсберга, соударяющегося с платформой:

F_K* (z)≡Pr{K<z / Imp}= 

=∫₀^Dmax∫₀^vmax∫₀^kmax(x₁+W)/(D ̅ +W) F_h (z/ ( x₃ x¹² x²² )) w_D (x₁)
w_v (x₂ ) w_k (x₃)dx₁ dx₂ dx₃ .

Предполагается, что кинетическая энергия K вычисляется по формуле

K=¹/₂ mv²=¹/₂  (πD²/4) k’hρ_ice v²=kρ_ice D²hv²

где h – общая высота айсберга, D – его диаметр на уровне ватерлинии, v – скорость, k – коэффициент формы, а ρ_ice – плотность льда айсберга. Все величины, кроме последней, предполагаются случайными с известными вероятностными распределениями: функцией распределения F_h (x₄) и функциями плотности w_D (x₁),w_v (x₂),w_k (x₃) соответственно.

Для получения численных оценок требуются соответствующие исходные данные. Вопрос о способах их получения, оценке их достоверности и полноты требует отдельного рассмотрения.

5 Оценка частоты столкновений айсберга с платформой

Выполним оценочные расчеты вероятности столкновения платформы с айсбергом для района Штокмановского месторождения (ШГКМ), расположенного в Баренцевом море.  Анализ архивных данных за период 1888-1991 гг. [8,16] показывает, что общее число айсбергов, наблюденных за весь 100-летний период в районе, представляющем собой географический квадрат 72-74⁰ с.ш., 40-45⁰ в.д. площадью A_reg = 36000 м² (рис. 2), может быть оценено значением 30. Это соответствует частоте прихода айсбергов в количестве 0,3 в год. В 2003 г. очередная ледоисследовательская экспедиция в район ШГКМ [16] зафиксировала факт аномального выброса айсбергов: общее число зафиксированных айсбергов и их обломков составило 41. Объединяя информацию в один массив, принимаем среднюю интенсивность прихода айсбергов λ = 0,7/T₁, где T₁ – длительность одного года в выбранных единицах времени. Примем средний размер айсбергов на уровне ватерлинии равным D = 100 м, а диаметр плавучей платформы W = 50 м. Средняя скорость дрейфа оценивается как  v_drift = 0,2 м/с. Тогда, при условии прямолинейного движения айсберга оценка максимальной длительности его пребывания в рассматриваемом районе  составляет 12 сут. Наблюдения за айсбергами в Баренцевом море показывают, что траектории их движения значительно отличаются от прямолинейных. Была найдена оценка для коэффициента извилистости траекторий айсбергов для условий центральной части  Баренцева моря: k_изв = 5  [16]. Для дальнейших расчетов примем три характерных значения средней длительности пребывания айсберга в районе A_reg:

t_res = 20 суt, 40 суt, 60 суt.

Соответствующие значения пространственной плотности айсбергов, вычисляемые по формуле (11), равны

ρ = 1,1.10^-12; 2,1.10^-12; 3,2.10^-12 (17)

Используя соотношение (14), находим, что вероятности столкновения с пришедшим в район айсбергом для этих трех случаев равны 0,0014; 0,0029 и 0,0043. С учетом интенсивности прихода айсбергов в рассматриваемый квадрат получаем, что ожидаемое число столкновений в течение года с айсбергом для платформы, размещенной на Штокмановском месторождении, составляет 0,001; 0,002 и 0,003 соответственно. Ниже будет показано, что найденные значения находятся в хорошем соответствии с результатами расчетов, выполненных при оценке айсберговой опасности для месторождений шельфа Канады (с учетом пересчета интенсивности потока приходящих айсбергов).

Необходимо отметить, что в работах специалистов ААНИИ на основе тех же исходных данных получена оценка частоты столкновения с айсбергом 1 раз в 35 лет [16] (в работе [8] приводится несколько иная оценка – 1 раз в 104 года), что отвечает вероятности столкновения в течение года примерно равной 0,03 (соответственно, 0,01). Оба значения, полученные с помощью методики, отличной от изложенной в настоящей работе, на порядок больше приведенных выше. Также в указанных работах приводится оценка, согласно которой в районе ШГКМ в среднем 1 раз в 5 лет с вероятностью 95% следует ожидать приход от 9 до 19 айсбергов в течение одного года, а один раз в 10 лет – от 12 до 26. С учетом вышесказанного, представляется, что в указанных работах степень айсберговой угрозы, выражаемая в вероятностных показателях, существенно завышена. По-видимому, это является следствием выбранного подхода, не отражающего всей специфики проблемы.

Интересно сопоставить данные по частоте появления айсбергов с районом  Ньюфаундленской банки (восточное побережье Канады). Там айсберги появляются гораздо чаще. Например, в квадрате 46-47,5⁰ с.ш.,  47,5-49,5⁰ з.д. площадью 26000 км²
среднее количество наблюдаемых айсбергов составляет 72,6 в апреле и 88,9 в мае [7]. Отметим, что имеется значительная неравномерность поступления айсбергов в рассматриваемый район. Так, например, в 1984 г. параллель 48⁰ с.ш. пересекло более 2200 айсбергов, а в 1966 г. не было зафиксировано ни одного такого случая, что в сопоставлении со случаем зафиксированного в 2003 г. массового выброса айсбергов в район ШГКМ [8], по-видимому, позволяет сделать вывод о том, что такие ситуации хоть и имеют низкие вероятности реализации, тем  не менее являются типичными для изучаемой проблемы.

Для квадрата 46-47⁰ с.ш., 48-49 з.д. площадью 8500 км², где расположено месторождение White Rose, при моделировании айсберговой угрозы среднегодовое число айсбергов, приходящих в указанный квадрат, оценено числом 70. Пространственная плотность айсбергов для данного района равна ρ = 2,5.10^-10, что на два порядка превышает соответствующий показатель (17) для района ШГКМ.

Согласно проведенным на предпроектной стадии расчетам, для индивидуального айсберга вероятность столкновения с плавучей платформой или судном FPSO, установленным на  месторождении White Rose, составляет значение порядка 0,002…0,003 (как известно, на месторождении реализована концепция FPSO). С учетом интенсивности потока приходящих айсбергов, годовая частота случаев столкновения с айсбергами составляет 0,14…0,21. Это почти на два порядка больше по сравнению с полученными выше оценками для ШГКМ, что находится в полном соответствии с тем фактом, что интенсивность потока айсбергов на Ньюфаундленской банке более чем в 100 раз превосходит аналогичный показатель для ШГКМ.

При этом проектом обустройства месторождения White Rose допускается столкновение с айсбергом массой до 100000 т. С учетом применения системы айсбергового мониторинга и, при необходимости, мер по активному воздействию на айсберги (эффективность всей системы оценивается как 85-90%), а также возможности отсоединения райзеров и якорных линий в экстремальных ситуациях (надежность этой технической операции принята равной 99%), итоговая вероятность столкновения платформы в течение года с айсбергом, масса которого превышает 100000 т, оценивается как (1,2…1,6).10^-4, что признано удовлетворяющим критерию безопасности.

Нефтяное месторождение Хайберния (Hibernia) расположено в 315 км к юго-востоку от побережья о. Ньюфаундленд, немного южнее месторождения White Rose. Частота появления айсбергов здесь немного меньше. Платформа гравитационного типа (Gravity Base Structure, GBS) “Хайберния” является первой и пока единственной в мире платформой, запроектированной на восприятие удара айсберга. Расчетный айсберг по критерию прочности (соударение с которым платформа должна выдерживать без каких-то бы ни было повреждений) имеет массу 1 млн т, при этом повторяемость такого события оценивается как 1 раз в 500 лет. Расчетный айсберг по критерию безопасности (при соударении с которым платформа может получить локальные повреждения, устранимые последующим ремонтом) имеет массу 6 млн т, при этом повторяемость такого события оценивается как 1 раз в 10000 лет. Рассчитанная для платформы “Хайберния” частота столкновений с айсбергом составляет порядка 1 случая в 10 лет, что соответствует вероятности столкновения 0,1 в течение года. Кроме того, проектом предусмотрена постоянно действующая программа ледового мониторинга, предусматривающая наличие систем раннего обнаружения, отслеживания и активного воздействия на айсберги, что призвано снизить вероятность соударения айсбергом с платформой. Более чем за 10 лет эксплуатации платформы “Хайберния” не было сообщений ни об одном случае столкновения, хотя в работе [15] в рамках подхода, учитывающего достаточно большую вероятность пропуска небольших по размеру айсбергов в процессе реализации мониторинга и тем самым значительно увеличивающим прогнозное значение числа приходящих айсбергов, получена оценка частоты столкновения порядка 0,3 случаев в год, что снова существенно выше, чем для условий Штокмановского месторождения.

Заключение

По результатам сопоставительного анализа «детерминистического» (традиционного) и «вероятностного» подходов к проектированию сделан вывод, что основным препятствием для так называемого вероятностного подхода к проектированию может оказаться недостаток исходных данных о вероятностных распределениях определяющих параметров. В то же время, на примере задачи об оценке айсберговой опасности продемонстрирована эффективность применения вероятностных подходов к задачам определенного класса.  Приведен вариант построения и анализа модели, позволяющей рассчитывать различные показатели айсберговой опасности для морских платформ, включая вероятность столкновения с айсбергом, у которого определенные параметры (например, диаметр, масса или кинетическая энергия) имеют значения, не ниже заданных. Приведены оценочные значения вероятности столкновения айсберга с платформой в условиях Штокмановского месторождения, которые оказываются на порядок более низкими по сравнению с аналогичными значениями, полученными ранее другими авторами. Для применения описанной методики на проектной стадии освоения Штокмановского месторождения необходимо провести более детальный статистический анализ имеющейся базы данных по наблюдению айсбергов в Баренцевом море с целью определения с достаточной степенью надежности вероятностных распределений параметров айсбергов, используемых в рамках предложенного подхода.

Часть 1